حل تمرین صفحه 75 ریاضی دوازدهم

حل تمرین 1 صفحه 75 ریاضی دوازدهم برای نوشتن معادله خط مماس ($y - y_0 = m(x - x_0)$)، ابتدا نقطه تماس $(x_0, y_0)$ و سپس شیب خط مماس ($m$) را محاسبه می‌کنیم. ### 1. محاسبه مشتق $f'(x)$ و شیب مماس $f'(2)$ $$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 2x + 1$$ $$f'(x) = 6x^2 - 6x - 2$$ $$m = f'(2) = 6(2)^2 - 6(2) - 2$$ $$m = 6(4) - 12 - 2 = 24 - 14 = \mathbf{10}$$ $$\mathbf{\text{شیب خط مماس: } f'(2) = 10}$$ --- ### 2. محاسبه نقطه مماس $(x_0, y_0)$ طول نقطه تماس $x_0 = 2$ است. عرض آن $y_0 = f(2)$ است: $$y_0 = f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 2(2) + 1$$ $$y_0 = 2(8) - 3(4) - 4 + 1 = 16 - 12 - 4 + 1 = 1$$ $$\mathbf{\text{نقطه مماس: } (2, 1)}$$ --- ### 3. معادله خط مماس با جایگذاری $m=10$ و $(x_0, y_0) = (2, 1)$: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ $$y - 1 = 10(x - 2)$$ $$y - 1 = 10x - 20$$ $$\mathbf{\text{معادله خط مماس: } y = 10x - 19}$$

حل تمرین 2 صفحه 75 ریاضی دوازدهم برای نظیر کردن نقاط به شیب‌ها، به **جهت و تندی شیب خط مماس** در هر نقطه نگاه می‌کنیم: * **شیب $0$:** نقطه اکسترمم محلی (بیشینه یا کمینه). در این نقاط خط مماس افقی است. \implies **$E$** (نقطه بیشینه محلی) * **شیب مثبت:** نقاطی که تابع صعودی است. (مانند $A$, $B$, $D$) * **شیب منفی:** نقاطی که تابع نزولی است. (مانند $C$, $F$) ### تحلیل شیب‌ها: 1. **شیب $0$:** $\mathbf{E}$ (بیشینه محلی) 2. **شیب $-3$:** تندترین شیب منفی (نزولی‌ترین نقطه). \implies $\mathbf{C}$ (نقطه کمینه محلی) 3. **شیب $-1$:** شیب منفی ملایم‌تر از $-3$. \implies $\mathbf{F}$ 4. **شیب $2$:** تندترین شیب مثبت (صعودی‌ترین نقطه). \implies $\mathbf{B}$ 5. **شیب $1$:** شیب مثبت ملایم‌تر از $2$. \implies $\mathbf{D}$ 6. **شیب $\frac{1}{2}$:** ملایم‌ترین شیب مثبت. \implies $\mathbf{A}$ ### جدول نظیر شده: | شیب | نقطه (توضیح) | |:---:|:---:| | $-3$ | $\mathbf{C}$ (کمینه مطلق و تندترین نزول) | | $-1$ | $\mathbf{F}$ (نزولی ملایم) | | $0$ | $\mathbf{E}$ (بیشینه محلی) | | $\frac{1}{2}$ | $\mathbf{A}$ (صعودی ملایم‌تر) | | $1$ | $\mathbf{D}$ (صعودی ملایم) | | $2$ | $\mathbf{B}$ (صعودی تند) |

حل تمرین 3 صفحه 75 ریاضی دوازدهم ### 1. تعیین مقادیر شیب‌ها * **الف) شیب $m_A$:** شیب مماس در نقطه $A$. نمودار در $A$ صعودی است، اما نسبت به $B$ و $C$ تندی کمتری دارد. \implies $m_A$ مثبت و کوچک. * **ب) شیب $m_B$:** شیب مماس در نقطه $B$. نمودار در $B$ صعودی است و تندترین شیب مثبت را دارد. \implies $m_B$ مثبت و بزرگ. * **پ) شیب $m_C$:** شیب مماس در نقطه $C$. نمودار در $C$ صعودی است، اما از $B$ ملایم‌تر است. \implies $m_C$ مثبت و متوسط. * **ت) شیب $m_{\text{قاطع}}$ ($m_{AB}$):** شیب خط قاطع $AB$. شیب خطی است که دو نقطه را به هم وصل می‌کند. \implies $m_{\text{قاطع}}$ مثبت. * **ث) شیب $m_{\text{افقی}}$ ($y=2$):** خط افقی است. \implies $m_{\text{افقی}} = 0$. * **ج) شیب $m_{\text{مایل}}$ ($y=x$):** خط $y=x$ است. \implies $m_{\text{مایل}} = 1$. ### 2. ترتیب دهی کوچکترین شیب‌ها، منفی هستند (که در اینجا نداریم)، سپس صفر و سپس شیب‌های مثبت. 1. **$m_{\text{افقی}}$:** $athbf{0}$ (کوچکترین) 2. **$m_{\text{مایل}}$:** $athbf{1}$ برای شیب‌های مماس ($m_A$, $m_B$, $m_C$) و قاطع ($m_{\text{قاطع}}$) باید دقت بیشتری کرد. با توجه به شکل منحنی، شیب‌ها به ترتیب تندی عبارتند از: $$\mathbf{0 = m_{\text{افقی}} < m_A < m_C < m_{\text{قاطع}} < m_B}$$ $$\text{و } m_{\text{قاطع}} \text{ به وضوح کمتر از } m_B \text{ است.}$$ $$\text{همچنین از روی نمودار مشخص است که } m_A \text{ و } m_C \text{ از } m_{\text{مایل}}=1 \text{ کوچکترند و } m_B \text{ از } m_{\text{مایل}}=1 \text{ بزرگتر است.}$$ **ترتیب نهایی:** $$\mathbf{m_{\text{افقی}} < m_A < m_C < m_{\text{مایل}} < m_{\text{قاطع}} < m_B}$$ $$\mathbf{\text{با جایگذاری نمادها: } m_{\text{ث}} < m_\text{الف} < m_{\text{پ}} < m_{\text{ج}} < m_{\text{ت}} < m_{\text{ب}}}$$

حل تمرین 4 صفحه 75 ریاضی دوازدهم برای نظیر کردن طول نقاط به مقادیر مشتق، جهت و تندی شیب مماس را در هر نقطه بررسی می‌کنیم: | $x$ | شیب $f'(x)$ | مقدار (توضیح) | نظیر شده | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $a$ | مثبت، تندترین | $2$ | $\mathbf{2}$ | | $b$ | مثبت، ملایم | $0.5$ | $\mathbf{0.5}$ | | $c$ | صفر | $0$ (نقطه کمینه) | $\mathbf{0}$ | | $d$ | منفی، ملایم | $-0.5$ | $\mathbf{-0.5}$ | | $e$ | منفی، تندترین | $-2$ | $\mathbf{-2}$ | ### جدول تکمیل شده: | $x$ | $f'(x)$ | |:---:|:---:| | $c$ | $0$ | | $b$ | $0.5$ | | $a$ | $2$ | | $d$ | $-0.5$ | | $e$ | $-2$ |

حل تمرین 5 صفحه 75 ریاضی دوازدهم نقاط باید روی نمودار به صورت زیر مشخص شوند: 1. **الف) $A$ (مشتق منفی):** شیب مماس منفی است، یعنی تابع در حال نزول است. $A$ را در بازه نزولی (بعد از بیشینه اول یا دوم) انتخاب می‌کنیم. \implies **$A$ در شیب نزولی بعد از اولین بیشینه قرار گیرد.** 2. **ب) $B$ (تابع منفی، مشتق منفی):** $f(x) < 0$ (زیر محور $x$) و $f'(x) < 0$ (نزولی). \implies **$B$ در پایین‌ترین قسمت سمت راست نمودار، جایی که نزولی است، قرار گیرد.** 3. **پ) $C$ (تابع صفر، مشتق مثبت):** $f(x) = 0$ (روی محور $x$) و $f'(x) > 0$ (صعودی). \implies **$C$ در اولین ریشه تابع، جایی که نمودار از محور $x$ بالا می‌رود، قرار گیرد.** 4. **ت) $D$ (مشتق صفر):** $f'(x) = 0$ (نقطه بیشینه یا کمینه). \implies **$D$ در اولین نقطه بیشینه محلی قرار گیرد.** 5. **ث) $E$ و $F$ (مشتق یکسان):** دو نقطه با شیب مماس یکسان (مثلاً $f'(E) = f'(F)$). \implies **$E$ و $F$ در دو نقطه با شیب صعودی (یا نزولی) و تندی یکسان قرار گیرند. (مانند دو طرف یک بیشینه که شیب منفی یکسان دارند.)** 6. **ج) $G$ (تابع مثبت، مشتق منفی):** $f(x) > 0$ (بالای محور $x$) و $f'(x) < 0$ (نزولی). \implies **$G$ در دومین بازه نزولی، جایی که بالای محور $x$ است، قرار گیرد.** (نقاط باید روی تصویر نمودار داده شده، با توجه به این ویژگی‌ها مشخص شوند.)

حل تمرین 6 صفحه 75 ریاضی دوازدهم برای محاسبه $f'(-1)$، ابتدا مشتق تابع $f(x)$ را محاسبه کرده و سپس مقدار آن را در $x=-1$ به دست می‌آوریم. $$f(x) = x^3 - 2$$ $$f'(x) = 3x^2$$ $$f'(-1) = 3(-1)^2 = 3(1) = \mathbf{3}$$ $$\mathbf{\text{مقدار مشتق: } f'(-1) = 3}$$

حل تمرین 7 صفحه 75 ریاضی دوازدهم شیب منحنی در یک نقطه، برابر با مشتق تابع در آن نقطه است. شیب مثبت به معنای صعودی بودن و شیب منفی به معنای نزولی بودن تابع است. ### تحلیل نقاط * **$A, B, C$:** تابع صعودی است. $f'(x) > 0$. * $m_A$ (مثبت، تندترین) * $m_B$ (مثبت، $0$) * $m_C$ (مثبت، $pprox 0$) * بهترین حدس: $m_A$ بزرگتر از $m_C$ است. اما $m_B$ در این شکل بیشینه محلی است و شیب آن $\mathbf{0}$ است. (اگر فرض کنیم $B$ بیشینه است.) * **$D$:** تابع نزولی است. $f'(x) < 0$. * **$E$:** تابع صعودی است. $f'(x) > 0$. * **$F$:** تابع نزولی است. $f'(x) < 0$. (با توجه به تصویر، فرض می‌کنیم $B$ و $E$ نقاط بیشینه محلی هستند و $D$ نقطه کمینه محلی است.) * $m_B = 0, m_E = 0, m_D = 0$. اگر فرض کنیم $B$ و $E$ بیشینه و $D$ کمینه هستند: * **الف) شیب منحنی در همه این نقاط مثبت است.** \implies **نادرست** (شیب‌ها در $B, D, E$ صفر و در $F$ منفی است.) * **ب) $m_A < m_B$.** \implies **نادرست** (اگر $B$ بیشینه باشد $m_B = 0$. $A$ صعودی است $m_A > 0$. پس $m_A > m_B$.) * **پ) $m_E < m_B < m_A$.** \implies **نادرست** (نظم درستی ندارد.) * **ت) شیب منحنی در نقاط $F$, $D$ و $C$ منفی است.** \implies **نادرست** ($D$ و $C$ مثبت یا صفر هستند.) **بررسی مجدد با فرض $B, D, E$ نقاط خاص نیستند، بلکه فقط نقاط روی منحنی هستند:** * $m_A$: مثبت و تند. * $m_B$: صفر (بیشینه محلی). * $m_C$: منفی (نزولی). * $m_D$: صفر (کمینه محلی). * $m_E$: مثبت (صعودی). * $m_F$: منفی (نزولی). $$\mathbf{\text{ترتیب: } m_C < m_F < m_D < m_B < m_E < m_A}$$ (شیب‌های منفی تندترین، صفر، و سپس شیب‌های مثبت.) * **ث) $m_E < m_D < m_C$.** \implies **نادرست** (شیب $m_E$ مثبت و شیب $m_D$ و $m_C$ منفی/صفر هستند.) **اگر فرض کنیم گزاره‌ها براساس ترتیب صحیح و کامل هستند و یکی از آن‌ها درست است:** تنها گزاره‌ای که ترتیب منطقی شیب‌ها (از کوچک به بزرگ) را با فرض‌های مختلف نمایش می‌دهد و معمولاً در این گونه سوالات مد نظر است، گزاره **ج** است (با فرض تغییر جهت در نام‌گذاری نقاط). با توجه به اینکه معمولاً در این تمرین‌ها، نقاط با شیب صفر به عنوان بیشینه/کمینه فرض می‌شوند، اگر $B, D$ بیشینه/کمینه نباشند و $A$ تندترین صعودی و $F$ تندترین نزولی باشند: $$\mathbf{m_F < m_D < m_C < m_B < m_E < m_A}$$ (مقدار مطلق شیب‌ها را مقایسه می‌کنیم.) **تنها گزاره‌ای که به لحاظ مفهومی درست است، تحلیل تندترین شیب‌ها است. با فرض اینکه $A$ و $E$ نقاط صعودی تند و $C$ و $F$ نقاط نزولی تند هستند:** * $m_B$ و $m_D$ (در بیشینه/کمینه) نزدیک به صفر هستند. * $m_A$ (تندترین صعودی) بزرگترین است. * $m_F$ (تندترین نزولی) کوچکترین است. $$\mathbf{\text{نتیجه‌گیری نهایی: }\text{ با توجه به ترتیب نمایش نقاط در نمودار، هیچ‌کدام از گزاره‌ها با این فرض درست نیستند. اما اگر } B, D, E \text{ نقاط بیشینه/کمینه نباشند و شیب آن‌ها غیرصفر باشد:}}$$ * $m_C < 0$ (نزولی تند) و $m_F < 0$ (نزولی ملایم) * $m_A > 0$ (صعودی تند) و $m_E > 0$ (صعودی ملایم) $$\text{ترتیب تقریبی: } m_C < m_F < m_D < m_B < m_E < m_A$$ \text{(اگر } D \text{ و } B \text{ نزولی ملایم/صعودی ملایم باشند.)}$$ **با توجه به ساختار سؤالات کتاب درسی، تنها گزاره‌های الف، ب، پ و ت در اصل سؤال بوده و گزاره‌های ث و ج ممکن است نادرست باشند. با فرض } B \text{ و } E \text{ بیشینه و } D \text{ کمینه:}$$ \implies **ب)** $\mathbf{m_A < m_B}$ **نادرست** است چون $m_A>0$ و $m_B=0$ (درست‌تر این است که $m_A > m_B$ باشد.) **به دلیل ابهام در نقاط، فرض بر این است که:** $athbf{m_B = 0, m_D = 0, m_E = 0}$ و گزاره الف، ب، پ و ت همگی نادرست هستند. اما در سوالات چند گزینه‌ای باید یکی درست باشد. **نزدیک‌ترین گزاره به حقیقت (که در جهت صعودی، شیب کاهش می‌یابد):** **پ** ($m_E < m_B < m_A$)

حل تمرین 8 صفحه 75 ریاضی دوازدهم ### 1. پیدا کردن مختصات نقطه $A$ نقطه $A$ روی منحنی $f$ و با طول $x=4$ است. مقدار تابع در این نقطه $f(4)$ است. $$f(4) = 2.5$$ $$\mathbf{\text{مختصات } A: (4, 2.5)}$$ --- ### 2. پیدا کردن مختصات نقاط $B$ و $C$ نقاط $B$ و $C$ روی **خط مماس** بر منحنی $f$ در نقطه $A$ قرار دارند. معادله این خط مماس به صورت زیر است: $$y - y_A = m(x - x_A)$$ شیب خط مماس برابر است با $m = f'(4) = 1.5$ و نقطه تماس $A(4, 2.5)$ است. $$y - 2.5 = 1.5(x - 4)$$ $$y = 1.5x - 6 + 2.5$$ $$\mathbf{\text{معادله خط مماس: } y = 1.5x - 3.5}$$ **الف) مختصات نقطه $B$:** نقطه $B$ روی خط مماس و با طول $x=5$ است. $y_B$ را از معادله خط مماس پیدا می‌کنیم: $$y_B = 1.5(5) - 3.5 = 7.5 - 3.5 = 4$$ $$\mathbf{\text{مختصات } B: (5, 4)}$$ **ب) مختصات نقطه $C$:** نقطه $C$ روی خط مماس و با طول $x=3$ است. $y_C$ را از معادله خط مماس پیدا می‌کنیم: $$y_C = 1.5(3) - 3.5 = 4.5 - 3.5 = 1$$ $$\mathbf{\text{مختصات } C: (3, 1)}$$